数学史上最使人百思不得其解的等式：0.999...=1

caoyi83102019

原标题：数学史上最使人百思不得其解的等式：0.999...=1
这个迷思可能从小学开始就在你们身旁流传了——
由于：1/9 = 0.十一1...
2/9 = 0.222...
3/9 = 0.333...
……
所以：9/9 = 0.999...
即：0.999...= 1

图 | Pixabay
0.999...= 1 吗？此问题在国际外大大小小的网络社区里泛起了有数屡次，每次都能引来上百人剧烈的争执，堪称是最经久不衰的老问题了。其实，在学术界里，这个问题也是出了名的争执热点。让咱们来看看，这个让你百思不得其解的问题，是怎么熬煎数学家们的……
最简略的“证实”
最简略的证实就是上文那样：
1/3 = 0.333...
两边同时乘以 3
1 = 0.999...
1998 年，弗雷德·里奇曼（Fred Richman）在《数学杂志》（Mathematics Magazine）上的文章《0.999... 等于 1 吗？》中说到：“这个证实之所以如斯拥有压服力，要得益于 人们想固然地以为第一步是对的，由于第一步的等式从小就是这么教的。”大卫·托（David Tall）传授也从考察中发现， 不少先生看了这个证实之后都会转而开始疑心第一个等式的正确性。

子细想一想你会发现，“1/3 等于 0.333…” 与 “1 等于 0.999…” 其实别无二致，它们一样使人难以承受。正如得多人会以为 “0.999… 只能愈来愈接近 1 而其实不能准确地等于 1” 同样， “0.333… 有限接近但其实不等于 1/3” 的争议仍旧存在。问题并无解决。
另外一个充溢争议的证实
大卫·福斯特·华莱士（David Foster Wallace）在他的《Everything and More》一书中引见了此外一个著名的证实：
令 x = 0.999...
所以 10x = 9.999...
两式相减得 9x = 9
所以 x = 1

图 | Pixabay
威廉·拜尔斯（William Byers）在《How Mathematicians Think》中评估这个证实：“0.999...... 既能够代表把有限个分数加起来的进程，也能够代表这个进程的后果。许多先生仅仅把 0.999...... 看做一个进程，然而 1 是一个数， 进程怎么会等于一个数呢？这就是数学中的二义性??他们并无发现其实这个有限的进程能够了解成一个数。看了下面这个证实而置信等式成立的先生，可能尚无真正晓得有限小数的含意，更不必说了解这个等式的意义了。”
逐步靠谱的证实
等比级数拥有这么一共性质：
假如 |r|
那末咱们就又有了一个疾速的证实：
这个证实最先泛起在 1770 年大数学家欧拉（Leonhard Euler）的《代数的因素》（Elements of Algebra）中，不外过后他证实的是 10＝9.999... 。
之后的数学课本中渐渐泛起了更加方式化的极限证实：
1846 年，美国教科书《大学算术》（The University Arithmetic）里这么说： 在 0.999... 里，每减少一个 9，它都离 1 更近。1895 年的另外一本教科书《学校算术》（Arithmetic for School）则说：假如有十分多的 9，那末它和 1 就相差无几了。不测的是，这些“形象的说法”却拔苗助长， 先生们经常认为 0.999... 自身实际上是比 1 小的。

跟着人们对实数更为深化的了解，0.999... = 1 有了一些更粗浅的证实。1982 年，巴图（Robert. G. Bartle）和谢波特（D. R. Sherbert）在《实剖析引论》（Introduction to Real Analysis）中给出了一个区间套的证实：
给定一组区间套，则数轴上恰有一点包孕在一切这些区间中；0.999... 对应于区间套[0, 1]、[0.9, 1]、[0.99, 1]、[0.999, 1] ... ，而一切这些区间的独一交点就是 1，所以 0.999... = 1。弗雷德·里奇曼的文章《0.999... 等于 1 吗？》里则用戴德金联系给出了一个证实：
一切比 0.999... 小的有理数都比 1 小，而能够证实一切小于 1 的有理数总会在小数点后某处异于 0.999... （于是小于 0.999... ），这阐明 0.999... 和 1 的戴德金联系是如出一辙的聚拢，从而阐明 0.999... = 1 。

格里菲思（H. B. Griffiths）和希尔顿（P. J. Hilton）在 1970 年出版的《A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics: A Contemporary Interpretation》中，用柯西序列给出了另外一个证实。
从未住手过的探讨
只管证实愈来愈齐备，先生们的纳闷却历来没有因此增加。在品托（Pinto）和大卫·托传授的一份考察讲演中写到，当先生们用初等办法证实了这个等式之后，会大吃一惊地说，这不合错误呀， 0.999… 显然应该比 1 小呀。

在互联网上，这个等式的魅力也仍然不减。答辩 0.999… 是不是等于 1 被探讨组 sci.math 评为“最受欢送的静止”，各类问答网站中也老是会有网友剧烈的探讨。
一个八卦，诺贝尔奖获者费曼（Richard Feynman）也用这个等式开过一句玩笑：“假如让我背圆周率，那我背到小数点后 762 位，而后就说 99999 等等等，就不背了。”

这句话面前的笑点很奇怪：从 π 的小数点后 762 位开始，泛起了延续的 6 个 9，恰恰在这里来一个“等等等”，就会给人觉得好像前面全是 9，这至关于把 π 变为了一个无限小数。尔后，π 的小数点后 762 位就被戏称为了费曼点（Feynman Point）。
作者：pondering
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