这帮美国人说π=3.2，还把它写进了法案

pengkaiboy

π绝对是数学界的顶流了。有人给它过节（就是明天啦），有报酬它写歌，1897年，美国印第安纳州的一项法案还曾试图更改它的值，一度成为坊间笑谈。
事件的起因是这样的，印第安纳州有个医生叫爱德华·古德温（Edward J. Goodwin），此人喜爱在业余时间钻研数学。古德温的数学之路终点颇高，瞄准的是古希腊三大困难之一的“化圆为方”，他苦心研究十几载终于搞出了一个实践，但这个实践破绽百出，还有个很大的反作用：在这套实践下算出来的 π=3.2。

用明天的话说，这就是从新定义了圆周率
古德温对本人的实践决心爆棚，他经过一名参议员提交了议案，表现发现了一项新的数学原理，为了反对教育事业，咱们要立法抵赖它的实在性，当前这个数学原理就可以在本州收费使用啦。这就是赫赫有名的246号法案，又称“圆周率法案（Indiana Pi Bill）” ，法案中愤恨地谴责了过后使用的π值“在实际运用中存在破绽且拥有误导性”，强调了3.2的正统位置。
明眼人都能看出这事有多不靠谱，但邪门的是，过后这项法案以67:0的微小劣势获取众议院统一投票经过，眼看就要酿成大祸。就在危殆时辰，来自普渡大学的一名传授对该州参议员们进行了紧迫科普，才没有让这项法案经过。
这个故事的讥刺的地方在于，早在1882年，数学家就曾经证实，“化圆为方”这个问题是无奈用尺规实现的。而关于圆周率，一千多年之前就曾经有更加准确的估量值了。
约率与密率
据《隋书?历律志》记录，我国现代的大数学家祖冲之很早就计算出圆周率后第7位，当先世界一千多年，这在算盘都没有确当时是很难想象的。
祖冲之还求患了π的约率（π≈22/7≈3.14）和密率（π≈355/十一3≈3.1415927）。其中的密率在东方直到1573才由德国人奥托失掉，1625年颁发于荷兰工程师安托尼斯的著述中，欧洲人不知道是祖冲之先得出密率的，将密率称为安托尼斯率。

位于深圳人材公园的π桥，请观赏桥上的谐音梗 | 作者供图
关于π的探究没有止步于此，古今中外的数学家仍然充溢热忱，前赴后继地把它求出了新意，求出了把戏。
扔针的人
蒲丰（Buffon）是一名法国数学家。1777年的一天，蒲丰约请敌人们到家里做客，他在白纸上画了一条条等间隔的平行线，而后请敌人们把一些长度只要平行线间距一半的针随便扔在纸上。后果，在2十二2次投掷中，针与平行线相交了704次。蒲丰算出22十二÷704≈3.142，并宣告这就是圆周率π的近似值，并且投的次数越多越准确。这就是著名的蒲丰投针问题，是一种经过几率办法来解决繁杂计算的妙招。

蒲丰投针
证实这个问题也很简略，只有具备简略的三角函数和积分常识，就能算出，疏忽针的宽度，针与平行线相交的几率p为：

其中，h是平行线间距，l是针长。当针长是平行线间距一半时，几率p的倒数刚好就是圆周率的值。
然而，真如蒲丰所说，投的次数越多越准确，人类为何要穷经皓首地尝试用各种办法计算圆周率呢？尤为是有了大型计算机之后，间接摹拟扔针不就行-了吗。先不说计算机只能发生伪随机数的问题，假如咱们真的入手开始扔针操作，极可能会先被精度问题虐到哭。
进步精度的战斗
假如投针的人足够侥幸的话，投针次数每减少10倍，后果的精度就能进步一名。例如扔100次，恰好有31次压线，扔1000次，恰好有314次压线……那末，他要扔出31415927次压线，就需求扔100000000次了，每秒扔一次的话需求3.17年。这看起来仍是能够承受的。
其实，历史上违心去尝试这个问题的大有人在，但是从他们的计算后果中（下表）能够看到，后果其实不准确。即便投掷了5000次，连小数点后两位都算不许，这是为何呢？

历史上的投针实验| csdn.net
缘故就在于，他们不敷“侥幸”，实验后果精度的进步，除了与实验次数无关，还要遭到方差的影响。方差越大，要进步精度，就需求付出更大的任务量。经典的蒲丰投针问题中，投针次数每减少约100倍，后果的精度才进步1位（见下表）。那末假如他要精度达到小数点后7位，最少需求投掷10^14次，这大略需求三百多万年了，就是愚公来了也算不出啊。

计算机摹拟的投针实验 | 作者供图
因而数学家斟酌，我减少一个维度，是不是能够进步后果的精度呢？改进型的投针问题泛起了，假如把地上的平行线改为方格，那末后果还和圆周率无关吗？

改进的投针问题
好动静是：公式仍与圆周率无关，并且方差也减小了， 针与平行线相交的几率p变成：

坏动静是：精度只进步了大约不到一名。要算出密率，激进估量也要一百万年。
“蒙”的哲学
或许有人以为，咱们能够把格子画得更多，用更多的针同时投上来，岂不是进步了投针的效力。但有位大牛却说：“格子多点能够，但投针太费事了。”他沿着格子的轮廓画了一个圆。细心的读者能够发现，这时候假如下起雨来，那末打在圆内方格的雨点数量，和打在圆外接正方形的雨点数量之比，就是圆和外接正方形的面积比（π/4）。在一个边长100米的正方形里，画出边长一厘米的方格，假定每平方米每秒落下1000滴雨，那末大约下四个多月的雨我们就可以看到后果了。

雨滴法算圆周率
事实上，这个数雨滴的办法还有个嘹亮的名字，叫做蒙特卡洛法（Monte Carlo method）。这个办法可不是叫蒙特卡洛的人提出的，而是著名数学家冯·诺伊曼用赌城蒙特卡洛命名的，所以这个办法的精华就是蒙（随机数）。蒙特卡洛法能够经过反复简略步骤的办法，化整为零来计算繁杂的问题。而咱们以前提到的蒲丰投针问题，就被以为是蒙特卡洛法的发源之一。

用蒙特卡洛法计算圆周率 | Think Twice
有人或许会问，这不仍是需求下几个月的雨能力算个圆周率吗？这么不靠谱的办法，究竟有甚么用呢？
其实，得多迷信和工程上的问题，都是利用这一办法解决的。关于精度要求不高，“雨滴”又量大易患时，蒙特卡洛法的劣势就体现出来了。例如卢瑟福经过著名的α粒子散射试验暴-露了原子的繁杂构造，就是用到了这一办法的思想。

α粒子散射试验原理
当初的人们都知道原子是由居于核心的原子核和电子组成的，其中原子核只占原子极小的体积。但即便利用最早进的显微镜，也看不到原子核。那末又是如何知道这一构造的呢？卢瑟福恰是奇妙天时用了蒙特卡洛法的思想，不外他把雨滴换成为了小很多的α粒子。他发现，射向金原子的α粒子，只要八千分之一产生了大角度偏转，似乎打中了甚么货色。经过对偏转角、电荷和品质的计算，他乃至得出了原子核的尺寸，与古代公认的尺寸对比接近。欠亨过间接观测，就测定出原子核尺寸，的确是使人赞赏的。

得多科研和工程上看似繁杂的问题，其实换个思绪，化整为零就能完成。几率虽然有难以捉摸的脾气，然而在大数据背后，往往会缴械投诚。不管是蒲丰投针，仍是繁杂图形面积的蒙特卡洛法计算，都是对几率最佳的运用。
参考文献
[1]中国古算解趣_郁祖权
[2]Buffon投针中针长对摹拟精度的影响_王合玲
[3]改进的蒲丰投针问题探索_代永嘉
[4]维基百科-布丰投针问题
[5]维基百科-蒙特卡罗办法