中国孩子数学碾压国外先生？我的反思是：咱们的课堂上基本没无数学

黄叶舞秋风

假如咱们要强调数学究竟在咱们理想中有甚么意义，那能够说，数学思惟让咱们有更感性的思考，更有逻辑的剖析。可以用此外一种目光来看这个世界。反对浏览第一，请进入大众号主页面“星标”咱们，从此“不失联”
本文受权转自公众号：埃尔特定阅号（ID：Arete_edu）｜作者：张释文｜编纂 | Bamboo
大家都说中国的数学课程比国外的难得多，中国的根底教育扎实，中国先生的数学能够碾压国外先生。真的吗？
我反思的论断是：咱们数学课的问题不在于难度，而在于咱们的数学课堂上压根就没无数学。

我是一个中国学校的学渣。不是虚心，是民间认证的。我在国际上中学的时分，150分的数学考试，最低考过27分。
27分大家知道是甚么概念吗？咱们那时分考试用的是答题卡，27分就至关因而把这个答题卡放到地上，而后踩两脚，把鞋印放到机器里，估量这样出来的分数也不止27分。
我考27分那次，是咱们班的倒数第三名。还有两个比我更差的，咱们三集体当初仍是很好的敌人。
比我考得差的那两集体，倒数第二的考了26分，我以一分险胜。他当初在美国一个世界500强的公司负责副总裁级的高管。考倒数第一的阿谁人考了9分，9分啊，假如我是两个鞋印，他就只能是大半个鞋印了。这集体起初考上了英国的牛津大学，当初是寰球出名的经济学家。
所以请大家安心，假如孩子数学成就欠好，不必太焦虑，其实它代表不了甚么，既不代表你不聪明，也不代表你学习才能欠好，是咱们的数学课有问题。

先和大家分享我的一个故事。
那是我在英国读钻研生的时分，刚退学没多久，教师在黑板上讲一道题，有一个7×9的算式，我在上面随口答了一句63，后果引来全班一片惊叹声。包罗教师在内都用特别崇拜的目光看着我，恍如看到数学之神了。
英国始终没有乘法表和乘法口诀。2015年，英国前首相卡梅伦和教育部长摩根两集体已经想过在中小先生中推行乘法表和乘法口诀，后果受到了媒体和先生家长的统一支持。
有一次卡梅伦在演讲的时分，忽然有集体站起来问他：“8×9等于多少？”卡梅伦过后瞠目结舌，呆若木鸡，由于他不知道8×9等于几。大家想一想，一个英国的首相连8×9都算不出来。而我由于很快算出了7×9＝63，因而就第一次当了数学的学霸。

特别巧，没过几天咱们就有一个测验，我是历来没有如斯期待过数学考试，十多年来历来没有当过数学的好先生，终于有这个时机了，尤为仍是在在国外，终于有了为国抹黑的时机。
到了考试那一天，教师把考题发上去，而后我发现一个特别奇怪的事，我一切的同窗第一个举措就是从书包里拿出迷信计算器，过后我就特别懵，由于我在国际上学的时分，计算器是不克不及在考试顶用的。然而在英国学校里，计算器是一个必备工具。
所以我眼睁睁的看他们从书包里拿出计算器，而全班只要我从书包里拿出来的是一叠稿纸。
最初的后果，可想而知，全班只要我没有答完标题问题，由于他人都是只有知道办法了，他们就能用计算器十分快的算出后果，而我把少量的时间都挥霍在了计算进程上。最初在课程完结的时分我是独一一个没有写完谜底的人。



因而我开始反思，数学究竟学甚么？咱们为何要学数学？数学真的跟理想糊口非亲非故吗？咱们学数学究竟学的是甚么？
大家都说中国的数学课程比国外的难得多，中国的根底教育扎实，中国先生的数学能够碾压国外先生。
我反思的论断是：咱们数学课的问题不在于难度，而在于咱们的数学课堂上压根就没无数学。
为何国外学校能够容忍咱们以为的特别低级的运算能干，然而他们却仍然可以造就出那末多优秀的数学家？咱们学数学到底是学一种运算技能，仍是学一种数学思惟。
我反思的论断，也就是我明天的标题问题：数学是一场游戏。由于数学是能够脱离理想糊口，在彻底想象的世界里进行逻辑运算的货色，数学最大的自豪，就是能够与理想糊口彻底有关。
咱们当初把数学公式都背得很纯熟，把几何的原理背得很熟了，而后用不停地做各种各样的题。这就至关于咱们玩游戏的时分，我不让你体验游戏的进程，我只告知你，摁后退，摁五下，而后跳，往左侧走，而后打，最初到了关卡，你记住上上下下，摆布摆布，ABBA，你把这些都记住，而后一遍一遍去训练，就能实现工作。
大家感觉这样的游戏还无意思吗？这仍是游戏吗？游戏的目的不是后果，而咱们看到的一切的公式，其实就是游戏的后果，应用得再纯熟，也无助于咱们体验游戏的精华。

咱们需求具备的，是独立的思考、有发明力的思考，咱们最不需求的就是“被训练”。就如高斯所说：“咱们需求的是设法，而不是符号。”
数学的学习形式就像咱们看电影或是看书同样。
好比，咱们看《西纪行》，我不告知你唐僧为何取经，他阅历了甚么事件，我就告知你唐僧通过了九九八11难，最初取回了真经，你要记住这八11难都是甚么，这个程序还不克不及乱，最初考试的时分你要把每一个难的名字答下来就算经过了。
大家感觉这样的浏览是正确的吗？假如大家感觉这样看书是不合错误的，为何这样学数学就是对的呢？
其实数学和一切的文学、艺术、影视作品同样，都是人类为了文娱本人发明出来的。并且它比咱们一切的游戏，好比足球、篮球、和咱们看到的一切电影都更自在。
由于这些游戏十分依赖于咱们这个理想世界的物感性质，而数学是能够彻底天马行空的发明出一个世界来，阿谁世界的规定彻底能够由你来抉择，你只有把你想要解答的标题问题的前提带入，使用一种谨严的推理，找出谜底就能了。这就是一个更为自在、更为考验发明力的游戏。



咱们数学最大的问题，咱们每集体都“模糊”记得一些公式和定义，但明晰记得咱们对它们的”憎恶”！
我说数学其实就是一种游戏，你能够在你想象的世界里去制订规定，考验你的发明力。
咱们举一道“鸡兔同笼”题，置信一切的孩子都被考过这道题：
笼子里有鸡和兔若干只， 笼子里有25个头和70只脚。问：兔子和鸡各有多少只？

我不知道大家是怎么做的题，我就记得我学这道题时，是在第一次学一元一次方程式，教师告知我规范谜底是：
咱们假定兔的数量是 X：
4X＋2×（25－X）=70
X＝10
兔子＝10（只）
鸡＝25－10＝15（只）
这么做对不合错误呢？确定是对的。那这道题这么做好玩吗？确定欠好玩。
“鸡兔同笼”其实有特别多的证法，我给大家举一个特别好玩的例子。
你想象一个世界，这一笼子的兔子和鸡就在这个想象的世界里，你站在这个笼子后面，一声令下，一切的植物都抬起一只脚，这个时分还有多少只植物站着？
70－25＝45只，还有45只脚站着，你再一声令下，一切植物又都抬起始终脚站着，这时候候还有45－25＝20只脚站着，然而鸡曾经一屁股坐地上了，由于鸡只要两只脚全抬起来了，那站着的全是兔子，这20只脚全是兔子的，所以兔子有10只，鸡就是15只。
这样解这道题就好玩。
这道题还有得多种解法，咱们还有一种解法。
假定鸡也有四只脚，由于咱们没有把它的翅膀算做脚，咱们假定一切的鸡也有四只脚，那25个植物外面应该有100只脚，那为何只要70只脚呢？由于有30个（100－70＝30）翅膀没有算做脚嘛！那30个翅膀确定就是鸡的了，所以就是15只鸡。
咱们再举个例子：这是一个矩形，就是一个长方形，长方形外面有一个三角形，问题就是：这个绿色的三角形面积和旁边蓝色三角形面积的比是多少？

正常来讲咱们的规范谜底是：
三角形的面积＝1／2×底×高
矩形面积＝底×高
这么一算矩形内三角形内和三角形外的面积比是1：1，这么解对不合错误呢？确定对！那这么解好欠好玩呢？确定欠好玩。
咱们来讲此外一种解法。
仍是放到咱们想象的世界里。
把它想象成一张纸，咱们从三角形顶点向下画一条线，把它扯开，它变为了两个方形，每一个个方形都被对角线联系成为了如出一辙的两个部份，也就是每一个个方形外面绿色和蓝色部份的面积都是同样的，他们合起来的面积也是同样的，也是1：1。
咱们再举一个例子，有条直线下面有两个点，从左侧这个点抵达直线再抵达右侧这个点最短的间隔怎么画？咱们能够多种状况画，怎么能力画出最短的线呢？
最简略的办法是：
在右侧阿谁点给它一个镜像，也就是给它一个对直线来讲对称的点，由于这个蓝色的点和直线下面它对称的阿谁绿色的点关于这个直线的地位是同样的，所以咱们从左侧这个绿点到右侧这个绿点，就能转换成从左侧这个绿点到右侧这个蓝点，两点之间最短的间隔是一条直线，它与原来那条直线有个交点，这个点连上直线下面摆布两个绿点的直线间间隔就是咱们要画的最短的间隔。



咱们能够不知道那些公式、定理，咱们能够在咱们想象的世界里把这些货色做的颇有意思。这就是数学的意义，这就是数学训练咱们真实的目的。不是训练咱们甚么计算才能，它是训练咱们一种数学思惟。

甚么是数学思惟呢？我特地查了一下百度，百度对数学思惟的概念是这样：数学思惟是数学的思考问题和解决问题的思考方式，也就是可以用数学的观念去思考问题和解决问题的才能，好比转化与划归、从个别到特殊、特殊到个别、函数/映照的思想等等。
说得对，但欠好懂。我怎么了解数学思惟的呢？数学思惟就是游戏思惟，就是穷尽你的想象力去发明一个世界，而后用谨严的论证和逻辑推理去失掉一个谜底。是一种高度笼统并解决问题的才能。

数学思惟给你的是从新看世界的一双眼睛，看这个世界的此外一种目光。有的时分它可能跟咱们对这个世界的直觉了解会对比大的的区分。我举几个的例子：
咱们知道，天然数、奇数、偶数。
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，十一，十二…… 天然数
2，4，6，8，10，十二，14，16，18，20…… 偶数
1，3，5，7，9，十一，13，15，17，19…… 奇数
大家感觉，天然数、偶数和奇数这三种数阿谁数的数目多？咱们从直觉上觉得偶数和奇数组分解了天然数，天然数天然比它们多，然而从数学角度来讲它们三个数是同样多的，由于他们三个的数目都是无量。
咱们再举个例子。
一个屋子里有23集体，他们有两集体的生日是同一天的可能性大不大？
直觉来讲咱们出去坐公交车、去机场等常常会碰见得多人，但咱们都不会感觉在这么多人外面会有两集体的生日同样。
从数学的角度来讲，在23集体的这集体群里，有两集体的生日是同月同日的几率超过50%。为何？由于咱们把每一个集体的生日和此外22集体作比较，那它就是有253次比较的时机，在这253次比较中泛起相反的几率是十分高的，这个就被称为“生日悖论”。
在计算机外面呢，有一种专门破解明码的形式叫做生日攻打，它的原理就是从生日悖论来的。
我再举个悖论例子。
减肥，从某种数学的角度来讲，减肥这个事是不成能的。由于想要减掉10斤，首先得减掉5斤，那想减掉5斤，就得先减掉2.5斤，想要减掉2.5斤，就先得减掉1.25斤。这个是无量的半数，但人无奈减掉一个无量的数，所以减肥是不成能的。
就像龟兔赛跑。只有乌龟先跑，兔子就永久都追不上。为何？由于兔子永久要抵达乌龟以前抵达的那一个点，那兔子只有抵达那一个点，那乌龟就又往前挪动了，所以兔子永久都无奈追上乌龟。
咱们知道这个在理想糊口中是不成能的，然而大家想一想，这一个一个的著名“悖论”，就是数学家在玩的一个一个游戏。假如说咱们学数学是但愿有用，那我告知大家，你只有学会加减法，会用计算器就能了。由于数学就是数学家在玩的游戏。
那应该要怎么样熬炼数学思惟？我感觉要把每一个个数字都看成游戏中的一个元素。忘掉一切的公式和定理，用本人违心、喜爱的办法去求证问题，而后不停试错。
此外就是玩真实的游戏，好比象棋、围棋、桌游。我前两天亲眼见到了一个十岁的孩子在玩数学推理的桌游，名字叫“达芬奇明码”，把两个二十八九岁、有硕士学位的成年人打的大败。



我总说数学是一个游戏，有证据吗？让咱们回到数学的发端，毕达哥拉斯，人类最先的数学家之一。
他糊口在2600年以前，特别好玩，他以为这个世界就是由数字安排的，数字是这个世界的真谛，所以他对数字带有一种神性的膜拜，他给每个数字都赋与意义。好比他以为1是世界的开始，4是完善，5是婚姻等等。
虽然他对数字有这样神性的崇拜，然而他仍然在拿数字做游戏。
好比说，他给这些数字减少了得多的称号，好比他以为6是一个完满数，由于这个数能够被1，2，3整除。1加2加3正好等于6，所以他以为6这个数是一个完满数。
10能够被1，2，5整除，1加2加5等于8，不到10，所以他以为10就是个亏数，他用这类做游戏的形式给各种各样的数字一些新的称说。
他还说“敌人是你灵魂的倩影，要像220和284同样密切”，这句话听着就特别像神经病人说的话啊，220和284两个数字有甚么可密切的呢？
220和284这两个数字，毕达哥拉斯把他们称之为亲和数，他们代表了友情和恋情。由于220它能够被1，2，4，5，10，十一，20，22，44，55，十一0整除，这些数加起来正好等于284。284能够被1，2，4，71，142整除，这些数加起来正好等于220。所以他以为284和220是一对亲和数，他们代表着友情、恋情。
所以阿谁时分做徽章，就会刻着数字220和284，表现咱们之间是好敌人。
毕达哥拉斯还办了一所学校，叫毕达哥拉斯半圆。
他为了招先生，他就跟先生说，你们过去跟我上课，每上一堂课我就给你多少钱。过了一段时间之后，他就跟他的先生说，他说“哎，我没钱了，我不克不及给你们上课了，我们解散吧”。
这时候候先生学他的课曾经很出神了，先生就说，这不行，你不给我上课，我这日子没法过呀，那这样，你给我上一堂课，我给你钱吧。所以毕达哥拉斯就开始每上一堂课，先生们就给他钱，他就把这个钱给赚回来了。
毕达哥拉斯还成立了一个组织，叫毕达哥拉斯兄弟会。至多的时分有300人。他们在一同聊哲学、数学，是过后的一个精英组织。这个兄弟会想参加很难，必需要通过毕达哥拉斯自己的面试。有一集体面试没经过就怀恨在心。
有一次趁着和平，把毕达哥拉斯兄弟会的大门紧锁，在外面放了一把火，包罗毕达哥拉斯自己在内得多兄弟会的人都被烧死了，只要多数的几集体逃了出来，逃到了世界各地，最初为毕达哥拉斯学派在世界各地的生根发芽奠定了根底，数学也由于他们而有了蓬勃的开展。



毕达哥拉斯之后泛起了得多著名的数学家，好比欧几里得，有次上课的时分，他的先生忽然站起来问他说，“咱们学这些货色，理想糊口中究竟有甚么用”，欧几里得回头跟旁边的奴仆说，你给这集体拿三个钱币，让他走，他竟然想从数学中失掉实际的用途”。
欧几里得以为数学本来就是和实际糊口不妨事的，想在理想中失掉实际的用途就是对数学的耻辱。
欧几里得之后，希腊对数学的钻研，就曾经倾向几何了，就算要解决代数问题，个别也套一个几何的壳子。直到泛起了一集体，这集体叫丢番图，他能够说是古希腊集数学之大成者，他把代数从几何里拽了出来，这集体也被称为代数之父。
他写了一本书《算数》，残卷当初还保存着。这本书原来是保藏在亚历山东大学藏书楼的，起初大家知道亚历山东大学藏书楼被毁掉了，得多书只留下了残本。
丢番图之后，由于神学的衰亡，数学就一泻千里，始终到一千年之后文艺振兴时代，人们才从新开始关怀数学。
1667年，法国有一个大法官叫费马，他是一个数学喜好者，他在《算数》这本书的某一页写了一句话，他说：“当n＞2时，a∧n+b∧n=c∧n，这个公式没有正整数解，关于这道题，我曾经想到了一个美好的证法，很惋惜中央不敷，没法写。”
就这么一句话，困扰了数学家几百年。直到1994年，才终究验证。人类被它困扰了三百年，被称为费马大定理。费马大定理的验证进程，就是全部数论的开展历史，这里边有太多熠熠生辉的名字，好比高斯、欧拉等等。
还有得多好玩的故事，好比德国有一个数学喜好者，也是个商人，叫沃尔夫凯勒，他做生意很胜利，挣了得多钱，但他寻求一个女孩追不上，很苦楚，筹备他杀。
他是个德国人，做事很谨严，他杀那天他列了一个方案：7点干甚么、8点干甚么……最初要在午夜十二点钟声音起的时分，吞枪自尽。然而他做事对比快，9点钟就把一切事做完了，又不想保持美感提前他杀，那干点甚么呢？
他就顺手抄起了一本书。由于是一个数学喜好者，他拿起的是一本数学期刊，外面有一篇论文，是一个著名数学家验证此外两个数学家对费马大定理的验证是过错的，并且他推论费马大定理在现阶段是无奈验证的。
沃尔夫凯勒在浏览中发现了作者的一个破绽——使用了一个未经证实的公式，因而他就拿起笔开始对论文进行补救。等他做了一整晚的验算，补足了论文的破绽时，曾经是次日凌晨了。
这个时分，他的表情十分舒畅，作为数学喜好者竟然帮忙一个著名的数学家补足了论文破绽。他觉得糊口太美妙了，再也不想他杀了，之后还捐出了10万马克，许诺奖给在他死后100年以内，解决费马大定理的人。
最初实现了验证费马大定理的是安德鲁·怀尔斯，著名的英国数学家，他在1993年的一次大会上宣告本人证明了费马大定理，但在一个月以内，被同行评议发现论文中有一个严重忽略。
在持续补足忽略中，他一度想要保持。期间，他的太太始终在激励他，对他说“我最想要的生日礼物，就是你对定理的终究验证”。
安德鲁第一次公布有破绽的论文是在1993年8月，他太太的生日是在10月，后果直到第二年的9月19日，他才终究真正实现了费马大定理的验证。
在太太的生日晚会上，安德鲁从楼上拿上去一叠稿纸交给他的太太，对她说：“我实现了费马大定理，我完结了困扰人类三百年的困难，这就是我给你的生日礼物。”
看看，数学家也是很会煽情的。安德鲁的终究证实写了足足一百页，起初就有人说费马写下那句著名的话“关于这道题，我曾经想到了一个美好的证实法，然而很惋惜中央不敷，没法写”的时分，其实并无真正验证这个料想的才能，由于当初看到的终究证实里，用到了得多费马逝世一百年之后才创造的数学模型和公式。
其实费马大定律就是费马本人想出来的一个数学游戏，得多的数学家来一同玩儿。而数学的开展就是由一个又一个的游戏来推进的。

好比，一个叫希尔伯特的数学家，他有一个特别的称说，叫数学之王。他在1900年提出了人类要解决的二十三个数学困难，而后在2000年的时分，一些数学家模仿他，提出了千禧年七大数学困难。这些题就是推进了这一百多年主流数学的开展，其实就是三十个数学游戏。
这些游戏包罗咱们都知道的哥德巴赫料想，希尔伯特提出的二十三集体类要解决的数学题，目前还有九个没有失掉论证。
千禧年的七大数学困难曾经有一个被验证了，就是庞加莱料想，被俄罗斯数学家格里高利佩雷尔曼验证。他证明了庞加莱料想后，没有去领菲尔茨奖，依然住在圣彼得堡的一个粗陋的独身公寓里，他没有去领奖金也不承受媒体的采访。
起初美国的一个记者终于在圣彼得堡堵住了偑雷尔曼。然而佩雷尔曼就在公寓外面不开门，隔着门呼啸：不要来烦我，我包罗万象！
其实真实的数学家的乐趣不是来自于理想糊口上的物资。而是来自于数学的虚构世界，在这个世界纵情的游戏。



假如咱们要强调数学究竟在咱们理想中有甚么意义，那能够说，数学思惟让咱们有更感性的思考，更有逻辑的剖析。可以用此外一种目光来看这个世界。
最起码，它能让咱们少上一些当，能让咱们看穿一些高级骗局。
举个例子，在雷锋日记里有一段话说：我连过年所放的假都没有劳动。我去捡大粪，初一初二那两天我一共捡大粪六百来斤。我想这也是响应党的号令，大积肥，也搞了卫生静止也可以增进农业出产。
其实这是一道数学题，一共捡大粪六百多斤，两天捡大粪六百多斤，一天就是一百五十千克。一百五十千克的粪便，约等于一千四百坨。
咱们假定雷锋同志从早上九点出门，晚上五点回来，这两头不吃不喝不断的休息。均匀每小时捡粪一百七十五坨，每分钟2.9坨。
咱们知道那是小年初一初二，他在抚顺，天特别冷，粪便应该都冻在地上很难弄的，咱们不去计算铲上去需求多少时间，把一切时间都疏忽掉。均匀每二十秒就要捡起一坨，至关于他每一个步都能捡到。
我看到过一篇文章写道“雷锋同志，你哪里是在捡粪呀，你清楚就是在粪坑里呀。”
给大家保举一本书《数学家的叹气》，不论你是对数学学习有难题的孩子，仍是家长、教师，都特别保举这本书。
扉页上写着《小王子》的作者的一句话：假如你要造船，不要招徕人来搬木柴，不要指派工作和任务，而要教他们渴想那无际无边、广袤的大海。
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